好撒馬利亞人悖論

因為最近都在背單字，彷彿整個人生失去意義，我只好找些閒活做做，便找了幾本書來學模態邏輯。因為沒有好的後設邏輯底子，讀語意論總覺得有些不對勁，最後換了Garson的《 Modal Logic for Philosophers》來讀。
這本書以語法方法開始，佐以非常接近自然演繹法的系統，再加上適當的小提示，暫時讀起來還算愉快。 Garson把語意論放在第三章，不是很清楚用意為何。不過就我自己聽一階邏輯的課程，以及當家教的經驗看來，語法似乎比語意更好掌握。

Garson在第二章有提及一些另類的模態系統，並介紹其中的一些爭議。在道義邏輯(Deontic Logic)的部份，他提到了所謂的好撒馬利亞人悖論。要介紹這個悖論，我們得先知道一些關於道義邏輯的描述︰

(a) 道義邏輯是模態邏輯的一種，可以理解為處理使用到「有義務的/ 可允許的/ 被禁止的」這些概念的語句之邏輯系統。

(b) 道義邏輯的基礎是所謂的K系統嚴格來說，K系統比一般教科書提到的語句邏輯系統精簡很多。我不打算交代K系統的細節，而我覺得粗糙地認識這個悖論也不需要完整掌握K系統的細節。。我們可以把K系統理解為一階語句邏輯，再加上象徵著必然以及可能的符號 □ 以及 ◊ 就好了。一階語句邏輯能處理的，K系統都能處理。但反之不然。

(c) 道義邏輯不使用 □ 和 ◊。道義邏輯改用 O、P及 FP及F都可以透過O以及否定號來定義。換成好懂自然語言版本的話，意思就是可允許做某事同義於沒有義務不做某事，而禁止做某事，意思就是有義務不做某事。來象徵(a)提到的概念。除此以外，道義邏輯包含一個定理(D)︰OA → PA，以及一些和系統K相當類似的規則。

有了這些先行的說明，我們可以開始談好撒馬利亞人悖論(Good Samaritan Paradox)是甚麼一回事。我們可以設想這麼一個故事︰

在某個不知名的地方有個好撒馬利亞人在閒逛，有一天，他在路上看到一個受傷的旅客，好撒馬利亞人立馬過去治療受傷的旅客的傷口。

via: ellenwhite.info

我們可以使用道義邏輯的語言改寫這個故事為以下論証︰

1. W&D
/ D

(給定W為好撒馬利亞人治療旅客的傷口，D為旅客受傷了。)
語意上，如果撒馬利亞人治療旅客的傷口為真，那麼旅客受傷了也會為真，說前一句語意蘊涵後一句並不過份。符號化改寫成這般只是為了更好地呈現推論的語法結構罷了。

到目前為止，這個翻譯似乎沒甚麼大問題(尚在可接受的範圍)，可是道義邏輯以K系統為基礎，而K系統有著這樣的特徵︰如果A可以導出B，那麼 □ A也可以導出 □ B。道義邏輯如果也有這個特性，那就會出現悖論。為甚麼？考慮到上面的論証可以說成是W&D導出D，假如道義邏輯真的有上述K系統的那個特徵，那麼，很自然的O(W&D)就可以導出OD。符號化的版本如下︰

1. W&D ⊢這個符號的意思大致上可以理解為「導出」。 D
/ O(W&D) ⊢ OD

OD是甚麼意思？根據上面的翻譯，恐怕意思是「以下是有義務要做的︰旅客受傷」，或是「旅客有義務受傷」，顯然這不是我們會接受的義務要求。O(W&D)看起來也是一個意思上相當荒謬的義務要求或應然語句。難道這又是一個從大家能接受的前提，導出大家不能接受的結論的漂亮例子？

有甚麼好的解決方法嗎？我們需要放棄甚麼？




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參考資料
Garson, J.(2013).Modal Logic for Philosophers(Second Edition). Cambridge: Cambridge University Press.